Matematik ve teorik bilgisayar biliminde basitçe açıklanan 10 çığır açan buluş

Matematik ve teorik bilgisayar bilimi, yeni bir akıllı telefon veya bir mahkeme kararının yaptığı gibi nadiren manşetlere çıkıyor, ancak bu alanlardaki bir avuç sonuç, bilgisayarların neler yapabileceğini, şifrelemenin neler vaat edebileceğini ve neyin çözülmüş bir problem sayıldığını sessizce yeniden şekillendirdi. İşte, saf teknik zorluktan çok çevrelerindeki alanı ne kadar değiştirdiklerine göre seçilmiş en önemli on sonuç.

Üsteli ikiden büyük olduğunda üç pozitif tam sayının belirli basit bir denklemi sağlayamayacağını belirten Fermat'nın Son Teoremi, 17. yüzyıl matematikçisi Pierre de Fermat'nın hiç yazmadığı bir ispata sahip olduğunu iddia etmesinden yaklaşık 350 yıl sonra ispatlanamadan kaldı. İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'nın bilebileceğinin çok ötesindeki tekniklerden yararlanan yüzlerce sayfalık bir ispatla nihayet 1994'te teoremi ispatladı ve matematiğin en ünlü açık sorularından birini kapattı.

İlk olarak 1904'te ortaya atılan, üç boyutlu uzayların şekli hakkında bir ifade olan Poincaré Varsayımı, Rus matematikçi Grigori Perelman'ın 2002 ve 2003'te, geometrik şekillerdeki düzensizlikleri zaman içinde düzleştiren Ricci akışı adı verilen bir teknik kullanarak bir ispat yayınlamasına kadar çözülmeden kaldı. Bu, her biri bir milyon dolarlık ödülle büyük çözülmemiş sorulardan oluşan bir liste olan yedi Milenyum Ödülü Probleminden bugüne kadar çözülen tek problem olmaya devam ediyor; Perelman hem ödül parasını hem de Fields Madalyası'nı reddetti.

1976'da, herhangi bir haritanın, komşu iki bölgenin aynı renkte olmayacağı şekilde yalnızca dört renk kullanılarak boyanabileceğini belirten Dört Renk Teoremi, Kenneth Appel ve Wolfgang Haken elle doğrulanması pratik olmayan binlerce bireysel harita yapılandırmasını kontrol etmek için bir program kullandığında, bir bilgisayarın önemli yardımıyla ispatlanan ilk büyük matematiksel teorem oldu. Bu sonuç, bir insanın satır satır kontrol edemeyeceği kadar büyük bir ispatın hâlâ ispat sayılıp sayılmayacağı konusunda uzun süreli bir tartışmayı ateşledi.

Sonsuz sayıda asal sayı çiftinin tam olarak iki farkla ayrıldığı, hâlâ ispatlanmamış olan ikiz asal varsayımı üzerindeki ilerleme, o zamanlar nispeten bilinmeyen bir öğretim görevlisi olan Yitang Zhang'ın sonsuz sayıda asal sayı çiftinin 70 milyondan az bir farkla ayrıldığını ispatladığı 2013'te büyük bir adım attı. Matematikçi James Maynard ve diğerlerini içeren hızlı bir işbirlikçi çaba bu farkı 246'ya indirdi, ancak varsayılan iki değerine kadar kapatmak hâlâ çözülmedi.

Peter Shor'un 1994 algoritması, yeterince güçlü bir kuantum bilgisayarın büyük sayıları klasik bir bilgisayardaki bilinen herhangi bir yöntemden üstel olarak daha hızlı çarpanlarına ayırabileceğini gösterdi; bu sonuç son derece önemliydi çünkü çevrimiçi bankacılığı ve iletişimi güvence altına alan sistemler dahil olmak üzere modern şifrelemenin çoğu, büyük sayıları çarpanlarına ayırmanın hesaplama açısından imkânsız olmasına dayanıyor. Shor'un algoritması, hükümetlerin ve şirketlerin hem kuantum bilgisayarları hem de kuantuma dayanıklı şifrelemeyi geliştirmek için yarışmasının merkezi bir nedeni olmaya devam ediyor.

1990'ların başında bir grup teorik bilgisayar bilimci tarafından geliştirilen PCP teoremi, her matematiksel ispatın, doğrulayıcının yalnızca rastgele seçilmiş küçük bir bölümünü inceleyerek doğruluğunu kontrol edebileceği bir biçimde yeniden yazılabileceğini, ve yine de yüksek olasılıkla herhangi bir hatayı yakalayabileceğini gösterdi. Bu sonuç, yaklaşım algoritmaları çalışmasını dönüştürerek, belirli optimizasyon problemlerinin sadece henüz kimsenin bir yol bulamadığını değil, verimli bir şekilde yaklaşılamayacağını göstermenin titiz bir yolunu sağladı.

İki büyük, karmaşık grafiğin yapısal olarak özdeş olup olmadığına karar vermek, grafik izomorfizmi problemi olarak biliniyor ve on yıllardır verimli genel algoritmalara direndi. 2015'te matematikçi László Babai, problem için önceki yaklaşımlara göre önemli bir iyileştirme olan ve hesaplama karmaşıklığı teorisinde, farklı hesaplama problemlerinin ne kadar zor olduğunu sınıflandırmakla ilgilenen bir alanda kayda değer bir ilerleme olan yarı-polinom zamanlı bir algoritma duyurdu.

Kürelerin belirli sayıda boyutta mümkün olduğunca yoğun bir şekilde nasıl paketleneceği sorusu, matematikçi Maryna Viazovska 2016'da sekiz boyutlu uzay için optimal paketlemeyi ispatlayana kadar yalnızca bir avuç düşük boyut için çözülmüştü; kısa süre sonra birkaç işbirlikçiyle çalışarak aynı problemi 24 boyutta çözmek için tekniği genişletti; bu sonuçların bilgi teorisi ve hata düzeltme kodları için de sonuçları vardı.

Verimli matematikçi Paul Erdős tarafından ortaya atılan Erdős tutarsızlık problemi, artı bir ve eksi bir değerlerinden oluşan bir dizinin ne kadar eşitsiz dağıtılabileceğiyle ilgiliydi. Özel bir durum, 2014'te bilgisayar tabanlı bir SAT çözücü kullanılarak, depolamak için yaklaşık 13 gigabayt gerektiren, o dönemde üretilmiş en büyük matematiksel ispatlardan biri olan bir ispatla doğrulandı. Ertesi yıl, Terence Tao daha geleneksel analitik yöntemler kullanarak tam, genel varsayımı ispatladı ve 1930'lardan beri açık kalmış bir problemi çözdü.

Matematikçilere göre bu sonuçları birleştiren şey, konularından çok matematiksel ilerlemenin nasıl gerçekleştiği hakkında ortaya koydukları şey: bazen asal sayı aralıklarında olduğu gibi birçok araştırmacı tarafından on yıllarca süren artımlı iyileştirme yoluyla, bazen de Ricci akışı veya PCP teoreminde olduğu gibi tüm bir problemi yeniden çerçeveleyen tek bir içgörü yoluyla; bilgisayarlar giderek artan bir şekilde ya bir doğrulama aracı ya da daha yakın zamanda kendi başına bir araştırma ortağı olarak rol oynuyor.